Узагальнені поліноми Ерміта, їх властивості та диференціальне рівняння, яке вони задовольняють

1Макаров, ВЛ
1Інститут математики НАН України, Київ
Dopov. Nac. akad. nauk Ukr. 2020, 9:3-9
https://doi.org/10.15407/dopovidi2020.09.003
Розділ: Математика
Мова: Українська
Анотація: 

Узагальнення класичних ортогональних поліномів, які б задовольняли лінійні диференціальні рівняння ви щих порядків спеціальної структури, вивчали багато математиків (A. Krall, J. Koekoek, R. Koekoek, H. Bavinck, L. Littlejohn та ін.). При цьому суттєві вимоги були такими: коефіцієнти біля похідних повинні бути поліномами певного степеня від незалежної змінної та не залежати від степеня поліномів, що задовольняють ці диференціальні рівняння. Вказані узагальнення в працях згаданих авторів були зроблені для всіх класичних ортогональних поліномів, окрім поліномів Ерміта. Дана робота присвячена узагальненню класичних поліномів Ерміта в описаному вище сенсі. Побудовано диференціальний оператор нескінченного порядку, власними функціями якого є саме ці поліноми. Досліджено ряд властивостей узагальнених поліно мів Ерміта, що притаманні класичним ортогональним поліномам (ортогональність, узагальнена фор мула Родріга, тричленне рекурентне співвідношення, твірна функція).

Ключові слова: диференціальний оператор нескінченного порядку, ортогональність, твір на функція, тричленне рекурентне співвідношення, узагальнена формула Родріга