ПРО ЗАДАЧУ ДІРІХЛЕ ДЛЯ A-ГАРМОНІЧНИХ ФУНКЦІЙ
DOI:
https://doi.org/10.15407/dopovidi2023.04.011Ключові слова:
BMO, обмежене середнє коливання, FMO, скінченне середнє коливання, задача Діріхле, теорія потенціалАнотація
Для А-гармонічного рівняння досліджено задачу Діріхле з неперервними межовими даними в обмежених областях комплексної площини. Нами встановлені критерії існування слабких розв’язків поставленої задачі у довільній обмеженій області без вироджених межових компонент в сенсі розподiлiв, здійснених у термінах умов на матричний коефіцієнт рівняння типу BMO (функцій обмеженого середнього коливання) і FMO (функцій скінченного середнього коливання). Наведено також ряд інтегральних критеріїв типу Кальдерона — Зигмунда, Лехто та Орлича. Відповідні приклади показують, що умова невиродженості межових компонент області є не лише достатньою, але й необхідною умовою розв’язності задачі Діріхле навіть для гармонічних функцій. Останнє узгоджується з відомою умовою Вінера. Показано, що отримані розв’язки мають зображення у вигляді композиції гармонічних розв’язків відповідних задач Діріхле і регулярних гомеоморфних розв’язків рівнянь Бельтрамі всієї комплексної площини з відповідними комплексними коефіцієнтами, які задовольняють гідродинамічну умову нормування у нескінченно віддаленій точці.
Завантаження
Посилання
Gutlyanskii, V., Ryazanov, V., Sevost’yanov, E. & Yakubov, E. (2023). Hydrodynamic normalization in the theory of degenerate Beltrami equations. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., No. 2, pp. 10-17. https://doi.org/10.15407/ dopovidi2023.02.010
Gutlyanskii ,V., Ryazanov, V., Sevost’yanov, E. & Yakubov, E. (2023). On the Dirichlet problem for degenerate Beltrami equations. Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., No. 3, pp. 9-16. https://doi.org/10.15407/dopovidi2023.03.009
Astala, K., Iwaniec, T. & Martin, G. (2009). Elliptic partial differential equations and quasiconformal mappings in the plane. Princeton Math. Series 48. Princeton Univ. Press.
Heinonen, J., Kilpelainen, T. & Martio, O. (1993). Nonlinear Potential Theory of Degenerate Elliptic Equations. Oxford Math. Monographs, Oxford ets.: Clarendon Press.
Ransford, Th. (1995). Potential theory in the complex plane. London Math. Society Student Texts 28. Cambridge: Univ. Press.
Ryazanov, V., Srebro, U. & Yakubov, E. (2012). Integral conditions in the theory of the Beltrami equations. Complex Var. Elliptic Equ. 57, No. 12, pp. 1247-1270.
Stoilow, S. (1956). Lecons sur les Principes Topologue de le Theorie des Fonctions Analytique. Paris: Gauthier- Villars.
Nevanlinna, R. (1974). Eindeutige analytische Funktionen. 2. Aufl. Reprint. (German) Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 46. Berlin-Heidelberg-New York: Springer.
Saff, E. B. & Totik, V. (1997). Logarithmic potentials with external fields. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 316. Berlin: Springer.
Wiener, N. (1924). The Dirichlet problem. Mass. J. of Math. 3, pp. 129-146.
##submission.downloads##
Опубліковано
Як цитувати
Номер
Розділ
Ліцензія
Авторське право (c) 2023 Доповіді Національної академії наук України

Ця робота ліцензується відповідно до Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License.